Төгс тоо

Зээ би энэ номны эх хувийг нь уншчихсан шүү дээ, угтаа. Гэхдээ хүмүүсийн сэтгэгдлийг сонссон чинь ерөөсөө монгол хэлээрээ унших минь гэж бодогдоод. 

"Эрдэмтний хайртай томъёо" гэж орчуулаад бяцхан тэмдэглэл бичиж байж. Математикийн томъёонуудын орчуулга, бэйсболын үг хэллэг нь хэлцүү санагдаж байсан юм. 

Тэгээд ганц нэг үгийг нь асуусан, та нар надад хэлж өгөөгүй шүү дээ, өөдгүй. Ха ха. Тэгээд л өөрөө олж мэдэхээр монгол орчуулгыг нь захьчихсан. Мэдсэнээ бусдад хэлж өгдөггүй хүмүүс "баба" шүү. Дутагдлаа засаарай та нар...

Тэгээд байвал би бас та нарт номны тухай танилцуулахаа больчихно шүү. Хо хо. Айлгасан уу, агсам тавьсан уу? Надаас айх уу даа та нар. Ккк

За тэгээд зөндөө л сэтгэгдэл энд тэнд яваа байх. Мөн орчуулагчийн ярилцсан подкаст ч бий шүү. Олж уншаарай. Би энэ удаад ингэсгээд л орхилоо шүү. 

Гэснээс номын дэлгүүрийн ажилчдын уншигчдадаа хамгийн ихээр санал болгох номын жагсаалтад тэргүүлсэн номнуудаа түүж уншиж байснаа орхигдуулсан байна аа. 

Хэдэн оныхыг уншаад зогслоо? Мөн түрүү жилийнхийг худалдаж авчихаад уншаагүй, өрөөстэй байна. Энэ жилийнх нь шалгаруулалт эхэлчихсэн, хэд хэдэн номыг дэвшүүлсэн байсан. 

Энэ "Төгс тоо" ном тэр арга хэмжээний эхний жилийн нэгт жагссан ном гэхээр сонирхолтой байх нь аргагүй тийм үү? Тоонд дурлана...

Би багадаа тооны хичээлээ тоолгүй хаясандаа бараг анх удаагаа харамссан. Яг энэ эрдэмтэн өвөө шиг хүн заагаад чиглүүлээд өгсөн бол ч алаад өгөхгүй юу? Хэ хэ. 

Багш нар минь сурагчдадаа анхаарал хандуулж, хүсэл зоригийг нь бадраадаггүй юм аа гэхэд унтраачихалгүй л байгаарай гэж хэлье дөө, одооны энэ өндөрлөгөөс. Хи хи.

Зохиолч нь Огава Ёоко. Энэ номыг нь уншчихаад бусад зохиолоос нь зээлж уншина гэж ганц нэгийг зээлээд хэсэг цүнхэлж явснаа нээж ч амжаагүй буцаагаад өгчихөж билээ. 

Энэ далимыг ашиглаж заавал унших юм шүү. Гэснээс яг одоо 2 ч япон ном цүнхлээд яваад байна аа. 

Яг хэзээ зээлж уншихыг хэлж мэдэхгүй байна шүү. 

Төгс тоо номыг англи хэлдээр орчуулахдаа "Гэрийн үйлчлэгч" гэх мэт нэртэйгээр орчуулсан байсан гэсэн. 

Одоо бодоод байхад энэ "Төгс тоо" гэдэг орчуулга нь уран сайхан, номыг агуулгыг улам чимсэн орчуулга болсон шиг санагдаад байгаа. Оросоор "Эрдэмтний хайртай тэгшитгэл" гэж орчуулсан байдаг гэсэн шүү. 

Тэгэхээр монголоос ном авах боломжгүй бол мэддэг хэлээрээ уншихад болох нь тийм ээ? 

Унших явцдаа энэ үгийг япон хэлээр нь юу гэдэг билээ? Юу гэдэг үг байсан юм бол? Гэж бас бодно. Гэм нь японыг нь номын санд буцаачихсан болохоор, яг тийм үг таарахаар харьцуулаад шууд харж чадахгүй л байна. 

Чадварлаг залуус олноор төрөн гарч байна тийм ээ? Одоо монгол зохиолуудаа харь хэлээр орчуулдаг болбол тийм ээ? гэж бодсон шиг. Хо хо. 

Математикт, тоонд нэг их дурлаж өгөхгүй байгаа зулзагууддаа нэг уншуулчихад гэмгүй хөөрхөн агуулгатай шүү. Тэр чигээрээ "хайр" мэдрэгдэнэ. 

Өнөөх чинь "Хайрын дөчин дүрэм" номыг уншсанаас хойш юм болгоныг хайр гэж хардаг болж байгаа гэхгүй юу? Ха ха. Наргиа шүү. Дараагийнхаа номыг уншаад эхлэв үү? Үгүй юу? Өмнөх ном бага зэрэг мартагдана. Уншиж буй номондоо төвлөрөхийн тулд албаар мартана. Хи хи. 

За тэгээд 10 жилд байхад тоондоо гавал хүүхдүүдийг биширдэг байлаа шүү дээ. Нэг тийм цаанаасаа өөр толгойтой төрчихсөн юм шиг санагддаг байж билээ. Үгүй байсан. Би тоондоо шимтэж суралцсан бол, тооны багш нар жаахан л урам хайрлачихсан бол гэж бодогдоод. 

Бодоод байсан чинь нулимс цийлэгнээд, өвгөн профессор дээр гүйгээд оччихмоор санагдана. Хэнд ч юм нэг тийм гомдсон сэтгэл...

Япон хэлээр нь уншсан тэмдэглэлдээ агуулгыг нь хальт бичсэн тул энд нуршихгүй. Мөн асуусан асуултаа өөрөө олоод авчихлаа. Зүтгэлтэй золиг шүү би ч. Хэ хэ. 

Ёстой хөөрхөн ном орчуулж хэвлүүлсэнд орчуулагчид нь баярлалаа. 

Түр баяртай, бүгдэд нь амжилт болон хайрыг хамтад нь хүсье.

Жич: Төгс тоо гэж хайсан чинь ийм нэг нийтлэл гарч ирсэн тул тэр чигт нь эндээ хуулаад оруулчихлаа. 

Төгс тоонуудын талаар. (Perfect numbers)

Жил бүрийн зун 6 сарын сүүлч, 7 сарын эхээр МУИС дээр доктор, профессор, Монгол Улсын гавъяат багш Ц. Дашдорж багшийн маань “Төгс тоо” төвийн сургалт явагддагыг математикийн багш нар андахгүй мэднэ. Ингэхэд төгс тоо гэж чухам ямар тоо билээ? Энэ талаар бяцхан мэдээлэл өгөхийг зорив.

Бүх натурал тоон хуваагчдынх нь нийлбэр өөрөөс нь 2 дахин их байдаг натурал тоог төгс тоо гэнэ. (ө.х хэрэв натурал тоо n-ийн бүх хуваагчдын нийлбэрийг s(n)-ээр тэмдэглэвэл s(n)=2n байдаг тоо.)

Жишээлбэл 6 төгс тоо мөн. Үнэхээр 6-ын натурал тоон хуваагчид: 1, 2, 3, 6 бөгөөд 1+2+3+6=12=2x6.

Төгс тооны тодорхойлолтыг өөрөөр “Өөрөөс нь ялгаатай бүх хуваагчдын (жинхэнэ хуваагчдын) нь нийлбэр өөртөй нь тэнцүү байдаг тоог төгс тоо гэнэ” гэж томьёолж болно.

Хамгийн эхний төгс тоонууд 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... болно.

Төгс тооны талаар эртний ном судруудад үлдсэн тэмдэглэлүүд арвин таардаг байна. Эртний Грек, Ромд төгс тоог ид шид, бурхан шашинтай холбон тайлбарлаж байжээ.

Төгс тоонууд нь хүмүүсийг тооны нууц руу даллан дуудаж байв.

Боэций (475-524) De Institutione Arithmetica бүтээлдээ s(n)>2n байх тоонуудыг хэтэрсэн тоо , харин s(n)<2n байх тоонуудыг дутмаг тоо гэж тодорхойлжээ. Тэрээр бичихдээ:

“Дутмаг бөгөөд хэтэрсэн хоёр зүйлийн хооронд байгаа мэт энэ хоёр төрлийн тоонуудын хооронд, төгс тоо нь хоёр туйлын хооронд хувь тавилангаа эрэлхийлэгч мэт байрлажээ”гэсэн байдаг.

Аугистин хамба (354-430) Бурханы хот бүтээлдээ

“Зургаа өөрөө анхнаасаа төгс тоо учраас Бурхан бүх зүйлийг зургаан хоногт бүтээсэн” гэжээ. (Библийн сударт Ертөнцийн эзэн бүх зүйлийг 6 хоногт бүтээсэн гэж бичсэн байдаг аж.)

Тэгш төгс тооны талаар Эвклид (Эртний Грекийн математикч МЭӨ 300 оны үед амьдарч байсан) нухацтай баримт үлдээсэн байдаг.

Теорем 1. (Эвклид)Хэрэв М_к нь Мерсений анхны тоо бол n= 2^(k-1)*М_к төгс тоо мөн.

Бүүр хожуу Леонард Эйлер (1707-1783 Шведийн математикч, физикч, одон оронч, газар зүйч, инженер,...) дараах үр дүнг баталжээ.

Теорем 2. (Эйлер) Тэгш төгс тоо бүр 2^(k-1)*М_к хэлбэртэй байна.

Эдгээр теоремуудын баталгаа хүнд биш тул бие даан батлаж үзэхийг зөвлөе.

Төгс тооны 2-тын тооллын систем дэх бичлэгийн талаар дурдая.

n= 2^(k-1)*М_к төгс тоо болог. Тэгвэл түүний 2-тын бичлэг нь k ширхэг 1-ээр эхлээд k-1 ширхэг 0-ээр төгссөн тоо хэлбэртэй байна. Жишээлбэл

6 = 2^2+ 2^1 = 110

28= 2^4+ 2^3 + 2^2 = 11100

496= 2^8+ 2^7 + 2^6 + 2^5 + 2^4 = 111110000

8128= 2^12+ 2^11 + 2^10 + 2^9 + 2^8 + 2^7+ 2^6 = 1111111000000 гэх мэт.

Төгс тоотой холбоотой олон сонирхолтой бодлогууд байдаг. Тухайлбал

Бодлого 1. Төгс тоо бүтэн квадрат болж чадахгүйг батал.

Бодлого 2. Хэрэв сондгой төгс тоо байдаг бол тэр нь 105-д хуваагдахгүйг батал.

Бодлого 3. Тэгш төгс тоонууд “гурвалжин” тоо болохыг батал.(эхний дэс дараалсан натурал тоонуудын нийлбэрт задардаг тоог гурвалжин тоо гэнэ)

Бодлого 4. Хэрэв n тэгш төгс тоо бол 8n+1 бүтэн квадрат гэдгийг батал.

Бодлого 5. Хэрэв к сондгой натурал тоо бол 2^(k-1)*M_k тоог эхний 2^((k-1)/2) ширхэг сондгой натурал тоонуудын кубуудын нийлбэрт задлаж болохыг батал. Тухайн тохиолдолд төгс тоо ийм шинж чанартай.

Жишээлбэл 28=1^3+3^3, 496=1^3+3^3+5^3+7^3 .

Төгс тоо төгсгөлгүй олон уу? Сондгой төгс тоо бий юу? Зэрэг асуудлууд математикийн шинжлэх ухаанд өнөөг хүртэл шийдэгдээгүй байгаа онц сонирхолтой асуудлуудын нэг юм. (Ц. Дашдорж Математикийн Мэргэжлийн Курс -1 номноос)

Олимпиад Математик Төв